ทบทวนตรรกศาสตร์
หัวใจหลักของคณิตศาสตร์คือการสื่อสาร เราต้องการจะแสดงข้อเท็จจริงบางอย่างที่ทำให้ผู้รับที่มีความเชื่อ ความคิด และทัศนคติแตกต่างจากเรานั้น เชื่อในสิ่งที่เราแสดง
ข้อเท็จจริงดังกล่าวแสดงผ่านทางประโยคที่สามารถระบุได้ว่าจริงหรือเท็จ ประโยคดังกล่าวเรียกว่า ประพจน์ (proposition)
หัวใจหลักของคณิตศาสตร์คือการสื่อสาร เราต้องการจะแสดงข้อเท็จจริงบางอย่างที่ทำให้ผู้รับที่มีความเชื่อ ความคิด และทัศนคติแตกต่างจากเรานั้น เชื่อในสิ่งที่เราแสดง
ข้อเท็จจริงดังกล่าวแสดงผ่านทางประโยคที่สามารถระบุได้ว่าจริงหรือเท็จ ประโยคดังกล่าวเรียกว่า ประพจน์ (proposition)
ตัวอย่างของประพจน์เช่น
พระอาทิตย์สีส้ม
ถ้าเราซื้อของราคา 10 บาทแล้วจ่ายเงินไป 100 บาทจะได้เงินทอน 15 บาท
สมชายไม่เชื่อว่ามนุษย์ต่างดาวมีอยู่จริง
ถ้าเราซื้อของราคา 10 บาทแล้วจ่ายเงินไป 100 บาทจะได้เงินทอน 15 บาท
สมชายไม่เชื่อว่ามนุษย์ต่างดาวมีอยู่จริง
ขณะที่ประโยค เช่น "วันนี้เป็นวันอะไร?" หรือ "ไปกินข้าวกันเถอะ" ไม่ใช่ประพจน์
กล่าวในอีกทางหนึ่ง ประพจน์คือประโยคที่สามารถระบุค่าความจริงได้ ค่าความจริงของประโยคมีสองแบบ คือ จริง (True) หรือ เท็จ (False)
พิจารณาประโยคที่ว่า "ประโยคนี้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ" ประโยคดังกล่าวเป็นประพจน์หรือไม่?
ในการเริ่มพิสูจน์อะไรก็ตาม เราจำเป็นจะต้องมีจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ ดังนั้นเราอาจกำหนดให้ประพจน์บางประพจน์เป็นจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ เราจะเรียกประพจน์ดังกล่าวว่า สัจพจน์ (axiom)
การพิสูจน์ คือการแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์จากกลุ่มของสัจพจน์ ประพจน์ที่มีการยืนยันความจริงด้วยการพิสูจน์เรียกว่า ทฤษฎีบท (theorem)ที่จุดนี้เราค่อนข้างจะหละหลวมในการกำหนดว่าเมื่อใดประพจน์จึงจะเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์จากกลุ่มของสัจพจน์ อย่างไรก็ตามเราจะกลับมานิยามอย่างเป็นทางการอีกครั้งหนึ่งหลังจากได้ทบทวนเรื่องตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์แล้วเรามักแทนประพจน์ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษเพื่อความสะดวกในการเขียน ยกตัวอย่างเช่น เราอาจกำหนดให้ ประพจน์ แทนประโยคที่ว่า "ขณะนี้เป็นเวลากลางวัน" ประพจน์ แทนประโยคที่ว่า "พระอาทิตย์สว่างจ้า" และประพจน์ แทนประโยค "ฝนตก"
กล่าวในอีกทางหนึ่ง ประพจน์คือประโยคที่สามารถระบุค่าความจริงได้ ค่าความจริงของประโยคมีสองแบบ คือ จริง (True) หรือ เท็จ (False)
พิจารณาประโยคที่ว่า "ประโยคนี้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ" ประโยคดังกล่าวเป็นประพจน์หรือไม่?
ในการเริ่มพิสูจน์อะไรก็ตาม เราจำเป็นจะต้องมีจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ ดังนั้นเราอาจกำหนดให้ประพจน์บางประพจน์เป็นจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ เราจะเรียกประพจน์ดังกล่าวว่า สัจพจน์ (axiom)
การพิสูจน์ คือการแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์จากกลุ่มของสัจพจน์ ประพจน์ที่มีการยืนยันความจริงด้วยการพิสูจน์เรียกว่า ทฤษฎีบท (theorem)ที่จุดนี้เราค่อนข้างจะหละหลวมในการกำหนดว่าเมื่อใดประพจน์จึงจะเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์จากกลุ่มของสัจพจน์ อย่างไรก็ตามเราจะกลับมานิยามอย่างเป็นทางการอีกครั้งหนึ่งหลังจากได้ทบทวนเรื่องตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์แล้วเรามักแทนประพจน์ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษเพื่อความสะดวกในการเขียน ยกตัวอย่างเช่น เราอาจกำหนดให้ ประพจน์ แทนประโยคที่ว่า "ขณะนี้เป็นเวลากลางวัน" ประพจน์ แทนประโยคที่ว่า "พระอาทิตย์สว่างจ้า" และประพจน์ แทนประโยค "ฝนตก"
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น