ตรรกศาสตร์พื้นฐาน
คุณสมบัติของตรรกศาสตร์พื้นฐาน

1.1ประพจน์ (Propostion) คือ ข้อความที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้นตัวอย่างที่เป็นประพจน์
P : 15 + 5 = 20

Q : วันนี้อากาศหนาว

R : สัปดาห์หนึ่งมี 8 วัน

S : คนทุกคนเป็นอมตะตัวอย่างที่ไม่เป็นประพจน์ช่วยเปิดไฟให้หน่อยห้ามรบกวน

การแทนประพจน์จะใช้สัญลักษณ์ p, q, r … เพื่อแทนประพจน์ที่แตกต่างกัน ข้อความที่มีกริยาเพียงตัวเดียวและเป็นประพจน์ จะเรียกว่าประพจน์เบื้องต้น

1.2 การเชื่อมประพจน์ โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกันก็จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากคือ

“และ” “หรือ” “ไม่” ที่เหลืออีกสองตัวคือ “ถ้า…แล้ว…” และ “…ก็ต่อเมื่อ…”

เมื่อนำประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม และ ,หรือ, ถ้า…แล้ว, …ก็ต่อเมื่อ
โดยที่ถ้า p และ q แทนประพจน์ จะเขียน

ถ้ากำหนดให้ T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นจริง

F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเท็จ
และ p, q แทนประพจน์ใดๆ ที่ยังไม่ได้ระบุข้อความหรือแทนค่าข้อความลงไป

• ประพจน์ p และ q จะเรียกว่าข้อความร่วม (conjugate statement) และจะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของประพจน์ p และ q ได้ดังนี้

จากตารางจะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ p และ q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ทั้งสองเป็นจริงนอกนั้นจะเป็นเท็จ

• ประพจน์ p หรือ q เรียกว่าข้อความเลือก (disjunctive statement) เป็นข้อความที่เป็นจริงถ้า p หรือ q เป็นอย่างน้อยที่สุดหนึ่งประพจน์ แต่จะไม่เป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์เป็นเท็จ ตารางค่าความจริงของ p หรือ q สามารถเขียนได้ดังนี้
  

• ประพจน์ ~p เรียกว่านิเสธ (negation) p หมายถึงไม่เป็นจริงสำหรับ p จะเป็นจริงเมื่อ p เป็นเท็จและจะเป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริง ตารางค่าความจริงของ ~p เป็นดังนี้

• ประพจน์ p แล้ว q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขหรือข้อความแจงเหตุสู่ผล (conditional statement) ประพจน์ p เรียกว่าเหตุตัวเงื่อนและ q เป็นผลสรุปเช่น p : นุ่นไปเที่ยวนอกบ้านq : คุณพ่อโทรศัพท์ตามดังนั้น p แล้ว q : ถ้านุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแล้วคุณพ่อโทรศัพท์ตามจากการตรวจสอบเงื่อนไขนี้จะพบว่าประพจน์นี้จะเป็นเท็จกรณีเดียวคือ นุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแต่คุณพ่อไม่โทรศัพท์ตาม ดังนั้นจะสามารถแสดงตารางค่าความจริงของประพจน์ p แล้ว q ได้ดังนี้
  

• ประพจน์ p ก็ต่อเม่อ q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขสองทาง (biconditional statement) คือ ประพจน์ที่มีความหมายเหมือนกับ (p ก็ต่อเมื่อ q) และ ( q ก็ต่อเมื่อ p) เนื่องจาก เชื่อมด้วยคำว่า “และ” ดังนั้น p ก็ต่อเมื่อ q จะมีค่าความจริงเป็นจริงต่อเมื่อประพจน์ p และประพจน์ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ดังตารางต่อไปนี้
  

1.3. สัจนิรันดร์ (Tautology)หมายถึงประพจน์ผสมที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าจะประกอบขึ้นจากประพจน์ย่อยที่มีค่าความจริงเป็นอย่างไร อาทิเช่น

การทดสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ทำได้ 2 วิธีคือ1. ใช้ตารางค่าความจริง เพื่อดูว่ามีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีจริงหรือไม่2. ใช้การทำ Contradiction คือการบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จ ถ้าสามารถทำให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้สำเร็จ แสดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าไม่สามารถบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้ ประพจน์นั้นจะเป็นสัจนิรันดร์ทันที

ความหมายของตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาความรู้แขนงหนึ่งซึ่งว่าด้วยกฎเกณฑ์การให้เหตุ โดยแบ่งเป็น
1) ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ศึกษาการให้เหตุผลโดยแทนข้อความด้วยสัญลักษณ์
2) ตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่สัญลักษณ์ ศึกษาจากการวิเคราะห์ภาษาที่ใช้โดยตรง
ในการศึกษาตรรกวิทยานั้นสิ่งที่จำเป็นในเบื้องต้น คือผู้ศึกษาจะต้องเข้าใจถึงลักษณะของประโยคทางตรรกวิทยาเพื่อที่จะสามารถจำแนกค่าความจริงของประโยค การสร้างประโยคที่มีความซับซ้อนขึ้น ตลอดจนการวิเคราะห์ค่าความจริง ความสมเหตุสมผลของรูปแบบประโยคต่างๆ ได้

ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์

จากประพจน์เดี่ยว ๆ เราสามารถสร้างประพจน์ขึ้นมาใหม่โดยนำประพจน์เดี่ยวมาประกอบกันผ่านทางตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ โดยตัวดำเนินการพื้นฐานคือตัวดำเนินการ AND, OR และ NOT ตัวดำเนินการทั้งสามเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ


ค่าความจริงของประพจน์ที่สร้างผ่านทางตัวดำเนินการจะขึ้นกับค่าความจริงของประพจน์ตั้งต้น แสดงดังตารางด้านล่าง เมื่อ แสดงว่าประพจน์เป็นจริง และ แสดงว่าประพจน์เป็นเท็จ
เรามักพิจารณาความหมายของตัวดำเนินการทั้งสามว่าเป็นตัวเชื่อมประโยค "และ", "หรือ" และการปฏิเสธ ("ไม่") อย่างไรก็ตามความหมายทางคณิตศาสตร์กับความหมายที่เราใช้ในภาษานั้นไม่ตรงกันเสียทีเดียว ดังนั้นถ้าอิงกับตัวอย่างประโยคในตอนต้น เราจะพิจารณาว่า
แทนประโยคที่ว่า "ขณะนี้เป็นเวลากลางวัน และ พระอาทิตย์สว่างจ้า"
แทนประโยคที่ว่า "พระอาทิตย์สว่างจ้า หรือ ฝนตก"
แทนประโยคที่ว่า "ฝนไม่ตก"


สังเกตประโยค ตัวเชื่อม "หรือ" ในภาษาธรรมชาติมักแสดงความหมายของการเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง (เป็นจริงพร้อมกันไม่ได้) แต่ตัวเชื่อม "หรือ" ในทางตรรกศาสตร์นั้นให้ผลลัพธ์เป็นจริงเมื่อประพจน์ย่อยเป็นจริงทั้งคู่ด้วย

ทบทวนตรรกศาสตร์
หัวใจหลักของคณิตศาสตร์คือการสื่อสาร เราต้องการจะแสดงข้อเท็จจริงบางอย่างที่ทำให้ผู้รับที่มีความเชื่อ ความคิด และทัศนคติแตกต่างจากเรานั้น เชื่อในสิ่งที่เราแสดง
ข้อเท็จจริงดังกล่าวแสดงผ่านทางประโยคที่สามารถระบุได้ว่าจริงหรือเท็จ ประโยคดังกล่าวเรียกว่า ประพจน์ (proposition)

ตัวอย่างของประพจน์เช่น

พระอาทิตย์สีส้ม
ถ้าเราซื้อของราคา 10 บาทแล้วจ่ายเงินไป 100 บาทจะได้เงินทอน 15 บาท
สมชายไม่เชื่อว่ามนุษย์ต่างดาวมีอยู่จริง

ขณะที่ประโยค เช่น "วันนี้เป็นวันอะไร?" หรือ "ไปกินข้าวกันเถอะ" ไม่ใช่ประพจน์
กล่าวในอีกทางหนึ่ง ประพจน์คือประโยคที่สามารถระบุค่าความจริงได้ ค่าความจริงของประโยคมีสองแบบ คือ จริง (True) หรือ เท็จ (False)
พิจารณาประโยคที่ว่า "ประโยคนี้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ" ประโยคดังกล่าวเป็นประพจน์หรือไม่?
ในการเริ่มพิสูจน์อะไรก็ตาม เราจำเป็นจะต้องมีจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ ดังนั้นเราอาจกำหนดให้ประพจน์บางประพจน์เป็นจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ เราจะเรียกประพจน์ดังกล่าวว่า สัจพจน์ (axiom)
การพิสูจน์ คือการแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์จากกลุ่มของสัจพจน์ ประพจน์ที่มีการยืนยันความจริงด้วยการพิสูจน์เรียกว่า ทฤษฎีบท (theorem)ที่จุดนี้เราค่อนข้างจะหละหลวมในการกำหนดว่าเมื่อใดประพจน์จึงจะเป็นจริงตามหลักตรรกศาสตร์จากกลุ่มของสัจพจน์ อย่างไรก็ตามเราจะกลับมานิยามอย่างเป็นทางการอีกครั้งหนึ่งหลังจากได้ทบทวนเรื่องตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์แล้วเรามักแทนประพจน์ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษเพื่อความสะดวกในการเขียน ยกตัวอย่างเช่น เราอาจกำหนดให้ ประพจน์ แทนประโยคที่ว่า "ขณะนี้เป็นเวลากลางวัน" ประพจน์ แทนประโยคที่ว่า "พระอาทิตย์สว่างจ้า" และประพจน์ แทนประโยค "ฝนตก"